圆 - ED-Blog

就这个破东西从小学到初中都没学透……

《永远与你相切》——Designed with GeoGebra by ED_Builder

废话？

废话

刚开始学切线的时候，依旧是那位熟悉的张老师，ta 用直线与圆的关系表示了我们之间的关系。
ta 说，相交的话交集过多，有些过于密切
ta 说，相离的话交集过少，有些过于生疏

而相切……只有一个切点，只和圆有一个交点，既不匆忙擦肩而过般离去，也不肆意妄为随意闯入。

暑假结束前，我们素不相识，这是相离
七年级刚刚接我们班，还没怎么熟悉我们，这是相切
八九年级，每个学生的模样都更加清晰，这是相交
毕业典礼，那是最后一次听 ta 再讲一次课，这是相切
未来，又会是相离？还是相切？亦或是相交？

因此，ta 喜欢的就是那种朦胧的微醺的感觉，所以 ta 的昵称也叫做“好久不见”

你\*了个\* 这是我的数学周末作业我怎么写出来这么大一坨史的

贡献者

主要编辑：ED_Builder & rohitsharmaw
指导教师：Jingqin Zhang from LYSCEDU
编写环境：Microsoft Visual Studio Code
主题构建：NodeJS NPM & Hexo & Stellar Theme
资源分发：Cloudflare CDN
开放许可：CC-BY-NC-SA 4.0 DEED

请注意：本文的编排顺序可能有差异，以及部分例题涉及到的知识点可能过于跳跃，如果你发现了问题请到 Issues 提出，并且 PRs Welcome。

定义&性质

圆的 描述性定义：在同一平面内，线段 $OA$ 绕它固定的一个端点 $O$ 旋转一周，另一个端点 $A$ 所形成的图形叫做圆
其固定的端点 $O$ 叫做圆心，线段 $OA$ 叫做半径
对于以点 $O$ 为圆心的圆，记作 $\bigodot O$

因此对于一个圆有两个要素：圆心定位置，半径定大小
并且由于旋转，圆上任意一点到圆心的距离相等
通过这个特性我们可以通过连接半径来构造等腰和全等来转换长度

观察下面的圆：

我们不难得到下面的信息：

记作 $\bigodot A$
点 $B,C,D$ 在 $\bigodot A$ 上
线段 $AD,AC$ 是半径

继续观察，我们发现了线段 $BD$ ，这就是弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。特别的，经过圆心的弦叫做直径（也就是线段 $AB$ ）

继续看点 $B,D$ 之间的那条曲线，叫做圆弧，简称弧
弧有两种，一种是大于半圆的，需要三个点表示，叫做优弧（如果不够三个点的话会说明）；另一种是小于半圆的，只需要两个点表示，叫做劣弧。
因此，以 $B,D$ 为端点的弧记作 $\overgroup{BD}$ ，当然还有优弧 $\overgroup{BCD}$

能够重合 的两个圆叫做等圆，同理，能够重合 的弧叫做等弧。即使长度不一样，怎样弯曲还可能不同，所以要保证重合。

垂径定理

先说结论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分所对的两条弧
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

利用垂径定理可以解决求长度的问题。
设 $OM$ 为“弦心距”， $CM$ 为“弓高”， $AO$ 为半径， $AM$ 为“弦一半”。这四者知二推二。

证明流程

由图可以得到， $Rt\triangle AMO$ 和 $Rt\triangle BMO$ 有一条公共边 $MO$
你的圆里面半径都是相等的，所以 $AO=BO$
得到 $Rt\triangle AMO \cong Rt\triangle BMO(HL)$
$\therefore AM=BM$

通过勾股定理和方程思想可以求得其他边的长度

几何语言

\because CO 是直径,AB是弦,CO平分AB\\ \therefore CO\perp AB,\overgroup{AC}=\overgroup{BC}\\

\because CO 是直径，CO\perp AB\\ \therefore AM=BM,\overgroup{AC}=\overgroup{BC}

圆心角&圆周角

定义

顶点在圆心的角叫做 圆心角
顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做 圆周角

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧和弦相等
同理可以通过弧来推出圆心角和弦相等，通过弦来推出弧和圆心角相等

圆周角定理

一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论：

同弧或等弧中所对的圆周角相等

半圆（或直径）所对的圆周角是直角， $90\degree$ 的圆周角所对的弦是直径

位置关系

三角形

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆就是这个三角形的 外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边 垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 角平分线的交点，叫做三角形的内心

直线

如图：

绿色线和 $\bigodot O$ 有两个公共点 $P,Q$ ，我们说这条直线和圆相交，这条直线就是圆的割线
橙色线和 $\bigodot O$ 只有一个公共点 $M$ ，我们说这条直线和圆相切，这条直线就是圆的切线
紫色线和 $\bigodot O$ 没有公共点，我们说这条直线和圆相离

通过定义也可以得到下面的数量与位置关系：
设直线 $l$ 到圆心 $O$ 的距离为 $d$ ， $\bigodot O$ 的半径是 $r$

直线 $l$ 和 $\bigodot O$ 相交 $\iff$ $d<r$
直线 $l$ 和 $\bigodot O$ 相切 $\iff$ $d=r$
直线 $l$ 和 $\bigodot O$ 相离 $\iff$ $d>r$

因此我们可以得到切线的判定与性质：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径

切线长定理

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

几何语言

\because PA,PB与\bigodot O 相切于点 A,B\\ \therefore PA=PB,\angle APO=\angle OPB,OP垂直平分AB

直角三角形内切圆技巧

对于 $Rt\triangle ACB$ ， $BC=a,AC=b,AB=c$ ，内切圆的半径 $r=\frac{a+b-c}{2}$
也就是直角三角形的内切圆的半径，就是 2 条直角边的和减去斜边再除以 2

证明过程

首先我们的半径都是相等的，所以 $OD=OE=OF$ ，得到 $OFCD$ 是正方形。
然后根据切线长定理推出各个线段的长度： $AE=AF=AC-FC=b-r,BE=BD=BC-CD=a-r$
因此有关系式 $AE+BE=(b-r)+(a-r)=a+b-2r=AB=c$ ，整理得 $r=\frac{a+b-c}{2}$

正多边形

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 边心距

边数	内角和	内角度数	外角度数	对角线数量	中心角度数	边心距长度	半径 R	边长	面积	周长
3	$180\degree$	$60\degree$	$120\degree$	0	$120\degree$	$\frac{\sqrt{3}}{2}R$	R	$\sqrt{3}R$	$\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$	$3\sqrt{3}R$
4	$360\degree$	$90\degree$	$90\degree$	2	$90\degree$	$\frac{\sqrt{2}}{2}R$	R	$\sqrt{2}R$	$2R^2$	$4\sqrt{2}R$
6	$720\degree$	$120\degree$	$60\degree$	9	$60\degree$	$\frac{\sqrt{3}}{2}R$	R	R	$\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$	$6R$
n	$(n-2)\cdot 180\degree$	$\frac{(n-2)\cdot 180\degree}{n}$	$\frac{360\degree}{n}$	$\frac{n(n-3)}{2}$	$\frac{360\degree}{n}$	$R\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$	R	$2R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$	$\frac{n}{2}R^2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$	$2nR\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

渲染问题

由于 Stellar 的宽度限制，我们无法渲染出后面的内容。这个问题已经被反馈，等待下一个版本更新解决。

Generated by Microsoft Copilot
我也不知道为什么还能整出三角函数来……不过前几个就够用了

弧长&扇形

复习回顾

都是小学学过的，一周角是 $360\degree$ ，圆的面积公式是 $S=\pi r^2$ ，周长公式是 $C=\pi d=2\pi r$ ，圆锥的体积 $V=\frac{\pi R^2 h}{3}$

计算公式

$n\degree$ 的圆心角所对的弧长 $l=\frac{n\pi r}{180}$
圆心角为 $n\degree$ 的扇形面积 $S=\frac{n\pi R^2}{360}=\frac{n\pi R}{180}\times\frac{R}{2}=\frac{lR}{2}$

圆锥

（这里本来应该有一张图解的，但是 GeoGebra 的 3D 计算器不好使，所以我懒得放了）
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线（母线有无数条且都相等）

~~截取自课本，电子版不给我缩放，将就着看吧~~
设圆锥的母线长为 $l$ ，底面圆的半径为 $r$ ，那么这个扇形的半径为 $l$ ，扇形的弧长为 $2\pi r$ ，因此圆锥的侧面积为 $\pi rl$ ，圆锥的全面积为 $\pi r(r+l)$ .

后记

就这个作业我从周五晚上 10 点写到凌晨 1 点才写了一半，周六上午又写了一会才写完，时间主要花费在了造图片和格式化，以及没完没了的写写写
导致到了周六中午我其他作业还一笔没动

所以我今天 9 点才起床，早饭也很寒酸又可以装逼了还是挺爽的

我都这么用心了，源码已经快 190 行了我要个思维导图的一等奖 + 公开装逼不过分吧