一元二次方程

多谢我的数学老师张老师，是她让我有了今天的数学成绩

写在前面

本来作业是需要画在 A4 纸上的思维导图，还说要选 10 个发奖状。
但是作为一名 OIer 我已经不屑于一张破纸，我想要我的学习记录在这里保存。
于是就有了这篇文章！

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作者：rohitsharmaw & ED_Builder
指导教师：JingQin Zhang from LYSCEDU

什么是一元二次方程

定义

$$x^2=25\\ x^2-6x+9=8\\ x^2+5x=6\\ 114x^2-514x+1919=810\\ 10x-4.9x^2=0$$

上面的这些都是一元二次方程。
不难发现，方程的等号两边都是整式，方程中只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是 2（二次）。因此我们就得到了一元二次方程的定义：

一般形式

对于任意一个一元二次方程，你都可以化为一般形式，如下所示（关于 $x$ 的一元二次方程的一般形式）

$$ax^2+bx+c=0(a\not =0)$$

请注意： 对于一个一元二次方程，它的二次项的系数 不能等于 0，否则就没有二次项，进而导致这不是一个一元 二次 方程了。
当你在后面的解一元二次方程的时候，将方程化为一般式非常重要（第一步就是）

解 / 根

考虑下面的方程

$$x^2+1=26$$

很显然，答案应该是 $x=\pm5$ 对吧？
别忘了开平方的时候还有一个负数也可以成立！
你在检查的时候应该把解带入到原方程中，看看是否能够让方程左右两边相等，那么我们就又得到了解的定义：

其实你把“解”叫做“根”都无所谓，不过我们经常叫作“根”。

对于任意一个一元二次方程，它的根 只有 3 种情况

1. 无实数根：$x^2=-2$
2. 有 2 个不相等的实数根：$x^2=9$
3. 有 2 个相等的实数根：$x^2=0$

也就是说，一元二次方程的根，只能有 2 个 或 0 个

怎么解一元二次方程

直接开平方法

如果给你的这个方程比较简单，你只需要移项，然后开平方就好了。比如下面的这个：

$$x^2+14=30\\ x^2+14-14=30-14\\ x^2=16\\ x=\pm\sqrt{16}\\ x=\pm4$$

不过出题人一定没这么好心，给的方程一定不会这么简单。
这样的解法一般适用于小选择/填空，和大题的一小部分。

从这个地方我们可以延伸出来，对于一个方程 $x^2=p$：

1. 当 $p>0$ 时，根据平方根的意义，方程有 2 个不相等的实数根：$x_1=\sqrt{p},\ x_2=-\sqrt{p}$
2. 当 $p=0$ 时，方程有 2 个相等的实数根：$x_1=x_2=0$
3. 当 $p<0$ 时，因为对于任意实数 $x$ 都有 $x^2\ge0$，所以方程无实数根。

配方法

你先回忆一下利用因式分解进行简便运算。你现在有一个特别长的式子，而且有一部分符合完全平方公式的片段，那你就可以从常数项里面拆出来一个符合条件的数或者先加上这个数再减掉，就可以凑出来一个 $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
让我们尝试演练一下：

$$x^2+6x+4=0\\ x^2+6x=-4\\ x^2+6x+(\frac{6}{2})^2=-4+(\frac{6}{2})^2\\ x^2+6x+3^2=-4+3^2\\ (x+3)^2=5\\ x+3=\pm\sqrt{5}\\ x_1=\sqrt{5}-3,\ x_2=-\sqrt{5}-3$$

像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做 配方法。
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转为两个一元一次方程进行求解

综上所述，我们可以得到配方法求解一元二次方程的步骤：

1. 移项：将常数项移到等号右边
2. 二次项系数化为 1：便于后续计算
3. 两边同时加 一次项系数 的 一半 的 平方：配方
4. 左边写成完全平方形式：化简
5. 写解：直接开平方

公式法

这是对于任意一个一元二次方程都适用的方法，由于计算量较大，在考场解不出来且时间充足的情况下，可以用它救命。暴力出奇迹！

首先，对于公式法而言，你需要将方程化为一般式。
然后找 二次项系数、一次项系数、常数项，分别赋值为 $a,b,c$

根的判别式

$$\Delta=b^2-4ac$$

既然是判别式，那么我们可以通过 $\Delta$ 来判定这个方程的根的状态：

1. 当 $\Delta>0$ 时，方程有 2 个不相等的实数根
2. 当 $\Delta=0$ 时，方程有 2 个相等的实数根
3. 当 $\Delta<0$ 时，方程无实数根
4. 当 $\Delta\ge0$ 时，方程有实数根

通过 $\Delta$ 的正负性，我们可以解出取值范围问题和是否有解问题。也可以判断给出的选项是否符合条件。

求根公式

当 $\Delta\ge0$ 时，方程 $ax^2+bx+c=0(a\not =0)$ 的根为：

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$

解题过程

1. 化一般形式
2. 找 $a,b,c$
3. 求出 $\Delta$ 并判断正负
4. 写根的情况
5. 写解

下面是一个完整的示例：

$$x^2-7=4x\\ 移项得,x^2-4x-7=0\\ a=1,b=-4,c=-7\\ \Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times1\times(-7)=44>0\\ \therefore方程有 2 个不相等的实数根\\ 解得x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)+\sqrt{44}}{2\times1}=2+\sqrt{11},\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)-\sqrt{44}}{2\times1}=2-\sqrt{11}$$

因式分解法

如果前面两种方法对于较大的数据而言太过困难，因式分解法可以更简便地求出根

首先，还是要将方程化为一般形式
然后就和之前学的提取公因式、套用公式、十字相乘之类的进行因式分解
最后你就会发现，你的最终结果是 2 个最高次数为 1 的整式相乘，且结果为 0
因为两者相乘为 0，所以必定有一项为 0，先假设前面那段是 0，求后面，然后反过来就得到了完整的解

综上所述，因式分解法的解题步骤为：

1. 移项：化为一般式
2. 左边因式分解：2 个一次式的乘积
3. 赋值：令每个一次式为 0
4. 写解

解题过程

$$x(x-2)+x-2=0\\ 因式分解得,(x+1)(x-2)=0\\ 令x+1=0,x_1-2=0,x_1=2\\ 令x-2=0,x_2+1=0,x_2=-1$$

一元二次方程得根与系数的关系

对于一个一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a\not =0)$ 以及它的两个实数根 $x_1$ 和 $x_2$ 与系数 $a,b,c$ 有如下关系：

• $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$
• $x_1x_2=\frac{c}{a}$
• $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
• $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
• $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
• $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$

通过这些，你可以在不用求根的情况下快速得到一些特殊的值或反推出系数的值

实际问题

解题步骤

一共 6 点：
审、设、列、解、验、答
分别对应审清题意、设未知数、列方程、解方程、验证结果（一定别忘记舍去不符条件的结果）、给出答案

握手问题

A 和 B 握一次手，相当于 B 和 A 已经握手了。这叫做 单循环，设共计 $n$ 人，握手 $x$ 次，则有关于 $n$ 的方程

$$\frac{n(n-1)}{2}=x$$

如果 B 和 A 还要再握一遍手，那就叫做 双循环。方程为

$$n(n-1)=x$$

传播问题

刚开始有 $a$ 个人作为传染源，平均每次都可以传染 $x$ 人，传播了 $n$ 次，最后一共有 $b$ 人被感染，则有关于 $x$ 的方程为

$$a(1+x)^n=b$$

增长率问题

最开始的量为 $a$，增长率为 $x$，增长周期为 $n$，最后结果为 $b$，则有关于 $x$ 的方程为

$$a(1\pm x)^n=b$$